R语言极值理论EVT:基于GPD模型的火灾损失分布分析

极值理论关注风险损失分布的尾部特征,通常用来分析概率罕见的事件,它可以依靠少量样本数据,在总体分布未知的情况下,得到总体分布中极值的变化情况,具有超越样本数据的估计能力。

因此,基于GPD(generalized pareto distribution)分布的模型可更有效地利用有限的巨灾损失数据信息,从而成为极值理论当前的主流技术。

由Kaizong Ye,Weilong Zhang撰写

针对巨灾发生频率低、损失高、数据不足且具有厚尾性等特点,利用GPD模型对火灾经济损失数据进行了统计建模;并对形状参数及尺度参数进行了估计。

模型检验表明,GPD模型对巨灾风险厚尾特点具有较好的拟合效果和拟合精度,为巨灾风险估计的建模及巨灾债券的定价提供了理论依据。

火灾损失数据

本文使用的数据是在再保险公司收集的,包括1980年至1990年期间的2167起火灾损失。已对通货膨胀进行了调整。总索赔额已分为建筑物损失、利润损失。

考虑第一个数据集(到目前为止,我们处理的是单变量极值),

然后一个自然的想法是可视化

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/hill01.gif

例如

重尾分布

这里的斜率与分布的尾部指数有关。考虑一些重尾分布


R语言风险价值VaR(Value at Risk)和损失期望值ES(Expected shortfall)的估计

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由于自然估计量是阶次统计量,因此直线的斜率与尾部指数相反 http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/hill98.gif​. 斜率的估计值为(仅考虑最大的观测值)

希尔估算量

希尔估算量基于以下假设:上面的分母几乎为1(即等于)。

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/hill02.gif


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那么可以得到收敛性假设。进一步

基于这个(渐近)分布,可以得到一个(渐近)置信区间 http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/hill98.gif

增量方法

与之类似(同样还有关于收敛速度的附加假设) 

(使用增量方法获得)。同样,我们可以使用该结果得出(渐近)置信区间

Deckers-einmal-de-Haan估计量

然后(再次考虑收敛速度的条件,即),

Pickands估计

由于 ​,

代码

拟合GPD分布

也可以使用最大似然方法来拟合高阈值上的GPD分布。

或等效地

它可以可视化尾部指数的轮廓似然性,

或者

因此,可以绘制尾指数的最大似然估计量,作为阈值的函数(包括置信区间),

最后,可以使用块极大值技术。

尾部指数的估计值是在这里最后一个系数。


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关于作者

Kaizong Ye拓端研究室(TRL)的研究员。

本文借鉴了作者最近为《R语言数据分析挖掘必知必会 》课堂做的准备。

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