在回归模型研究中，我们将讨论优化，而经典工具就是所谓的共轭。给定函数f：Rp→R，其共轭值为函数f ⋆：Rp→R使得

由Kaizong Ye，Liao Bao撰写

可视化考虑一个简单的抛物线函数（在维度1中）f（x）= x ^ 2 / 2，然后f ⋆（2）是线x↦2x与函数f（x）之间的最大距离。

1. 所谓共轭就是指成对的出现的两个有很强关系的实体。

2. 平时所说的共轭函数就是基于相同的线性超平面而构建的对偶关系。
好处是一个函数即便不是凸函数，但通过共轭法获得一个凸函数。更妙的是，再次通过这种共轭又能得到与原函数不错的近似函数。

3. 也就是说，通过两次共轭就可以得到原函数的凸包函数。如果使用这个凸包函数来代理原函数，在优化求解上则会获得许多优良的性质，但又能在特性上损失不大。这也许就是使用共轭函数的最大意义和用途。

1 2	f = function(x) x^2/2 fstar = function(y) max(y*x-vf)

我们可以在下图上看到。

polygon(c(x[idx2],rev(x[idx2])),c(vf[idx2],rev(x0*x[idx2],col=rgb(0,1,0,.3,border=NA)

abline(a=0,b=x0,col="red")

segments(x[i],x0*x[i],x[i],f(x[i]),lwd=3,col="red")

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在这种情况下，我们实际上可以计算f⋆，因为

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一阶条件是x⋆= y，因此

实际上，对于ℓp的共轭，我们可以使用以下代码对其进行可视化

f = function(x) abs(x)^p/p

fstar = function(y) max(y*x-vf)

vi(1.5)

f = function(x) abs(x)^p/p

fstar = function(y) max(y*x-vf)

vi(1, YL=c(0,10))

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在那种情况下，如果f（x）= ∣x∣则

另一种情况是

我们可以在下面看到

f = function(x) exp(x)

fstar = function(y) max(y*x-vf)

vi(1,YL=c(-3,3))

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关于作者

Kaizong Ye是拓端研究室（TRL）的研究员。

本文借鉴了作者最近为《R语言数据分析挖掘必知必会 》课堂做的准备。

非常感谢您阅读本文，如需帮助请联系我们！

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R语言最优化问题中的共轭函数

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