R语言时间序列TAR阈值自回归模型

为了方便起见,这些模型通常简称为TAR模型。这些模型捕获了线性时间序列模型无法捕获的行为,例如周期,幅度相关的频率和跳跃现象。

由Kaizong Ye,Coin Ge撰写

Tong和Lim(1980)使用阈值模型表明,该模型能够发现黑子数据出现的不对称周期性行为。

一阶TAR模型的示例:

σ是噪声标准偏差,Yt-1是阈值变量,r是阈值参数, {et}是具有零均值和单位方差的iid随机变量序列。

每个线性子模型都称为一个机制。上面是两个机制的模型。

考虑以下简单的一阶TAR模型:

TAR模型框架是原始TAR模型的修改版本。它是通过抑制噪声项和截距并将阈值设置为0来获得的:

框架的稳定性以及某些规律性条件意味着TAR的平稳性。稳定性可以理解为,对于任何初始值Y1,框架都是有界过程。

在[164]中:

Chan和Tong(1985)证明,如果满足以下条件,则一阶TAR模型是平稳的

一般的两机制模型写为:

在这种情况下,稳定性更加复杂。然而,Chan and Tong(1985)证明,如果

模型估计

一种方法以及此处讨论的方法是条件最小二乘(CLS)方法。

为简单起见,除了假设p1 = p2 = p,1≤d≤p,还假设σ1=σ2=σ。然后可以将TAR模型方便地写为

如果Yt-d> r,则I(Yt-d> r)= 1,否则为0。CLS最小化条件残差平方和:

在这种情况下,可以根据是否Yt-d≤r将数据分为两部分,然后执行OLS估计每个线性子模型的参数。

如果r未知。

在r值范围内进行搜索,该值必须在时间序列的最小值和最大值之间,以确保该序列实际上超过阈值。然后从搜索中排除最高和最低10%的值

  1. 在此受限频带内,针对不同的r = yt值估算TAR模型。
  2. 选择r的值,使对应的回归模型的残差平方和最小。

80

如果d未知。

令d取值为1,2,3,…,p。为每个d的潜在值估算TAR模型,然后选择残差平方和最小的模型。

Chan(1993)已证明,CLS方法是一致的。

最小AIC(MAIC)方法

由于在实践中这两种情况的AR阶数是未知的,因此需要一种允许对它们进行估计的方法。对于TAR模型,对于固定的r和d,AIC变为

然后,通过最小化AIC对象来估计参数,以便在某个时间间隔内搜索阈值参数,以使任何方案都有足够的数据进行估计。

dAICR12
1311.2-1.002011
2372.60.221812
3388.4-1.387010

非线性测试

1.使用滞后回归图进行目测。

绘制Yt与其滞后。拟合的回归曲线不是很直,可能表明存在非线性关系。

在[168]中:

2.Keenan检验:

考虑以下由二阶Volterra展开引起的模型:

其中{ϵt} 的iid正态分布为零均值和有限方差。如果η=0,则该模型成为AR(mm)模型。

可以证明,Keenan检验等同于回归模型中检验η=0:

其中Yt ^ 是从Yt-1,…,Yt-m上的Yt回归得到的拟合值。

3. Tsay检验:

Keenan测试的一种更通用的替代方法。用更复杂的表达式替换为Keenan检验给出的上述模型中的项η(∑mj = 1ϕjYt-j)2。最后对所有非线性项是否均为零的二次回归模型执行F检验。

在[169]中:

在[170]中:

4.检验阈值非线性

这是基于似然比的测试。

零假设是AR(pp)模型;另一种假设是具有恒定噪声方差的p阶的两区域TAR模型,即σ1=σ2=σ。使用这些假设,可以将通用模型重写为

零假设表明ϕ2,0 = ϕ2,1 = … = ϕ2,p = 0。

似然比检验统计量可以证明等于

其中n-p是有效样本大小,σ^ 2(H0)是线性AR(p)拟合的噪声方差的MLE,而σ^ 2(H1)来自TAR的噪声方差与在某个有限间隔内搜索到的阈值的MLE。

H0下似然比检验的采样分布具有非标准采样分布;参见Chan(1991)和Tong(1990)。

在[171]中:

模型诊断

使用残差分析完成模型诊断。TAR模型的残差定义为

标准化残差是通过适当的标准偏差标准化的原始残差:

如果TAR模型是真正的数据机制,则标准化残差图应看起来是随机的。可以通过检查标准化残差的样本ACF来检查标准化误差的独立性假设。

预测

预测分布通常是非正态的。通常,采用模拟方法进行预测。考虑模型

然后给定Yt = yt,Yt-1 = yt-1,…

因此,可以通过从误差分布中绘制et + 1并计算h(yt,et + 1),来获得单步预测分布的Yt + 1的实现。 。

通过独立重复此过程 B 次,您可以 从向前一步预测分布中随机获得B值样本 。

可以通过这些B 值的样本平均值来估计提前一步的预测平均值 。

通过迭代,可以轻松地将仿真方法扩展为找到任何l步提前预测分布:

其中Yt = yt和et + 1,et + 2,…,et + l是从误差分布得出的ll值的随机样本。

在[173]中:

样例

这里模拟的时间序列是1700年至1988年太阳黑子的年数量。

在[174]中:

在[177]中:

dAICR12
1228522.769
2224841.099
3222631.579
4225147.887
5229684.893
6229119.889
7227243.999
8224448.592
9222147.593

在[178]中:

模拟TAR模型上的AR性能

示例1. 将AR(4)拟合到TAR模型

例子2. 将AR(4)拟合到TAR模型

例子3. 将AR(3)拟合到TAR模型

例子3. 将AR(7)拟合到TAR模型

参考文献

恩德斯(W. Enders),2010年。应用计量经济学时间序列


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关于作者

Kaizong Ye拓端研究室(TRL)的研究员。

本文借鉴了作者最近为《R语言数据分析挖掘必知必会 》课堂做的准备。

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