R语言分解商业周期时间序列数据:线性滤波器、HP滤波器、Baxter King滤波器、Beveridge Nelson分解等去趋势方法 

本文包含各种过滤器,可用于分解南非GDP的方法。

由Kaizong Ye,Sherry Deng撰写

我们做的第一件事是清除当前环境中的所有变量。这可以通过以下命令进行。

分解南非GDP数据

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消除趋势法。消除趋势法(Detrending Method)把宏观经济运行看作是潜在增长和短期波动的某种组合,因而可运用计量技术将实际产出序列分解为趋势成分与周期成分,其中的趋势成分即潜在产出,周期成分即产出缺口。序列分解方法随着计量技术的发展不断改进,早期比较常用的数据分解方法是对时间t 进行一次或二次线性回归,该方法默认经济变量是趋势稳定的;Nelson 和Plosser(1982)认为大多数宏观经济变量不具有确定性时间趋势,而是具有单位根性质,因而应直接对数据差分或者是进行Beveridge and Nelson(1981) 分解;Hodrick 和Prescott(1980,1997)的滤波方法(简称HP 滤波法)居于两者之间,认为经济变量既不是永远不变也不是随机变动,其趋势是缓慢变动的。下面简要介绍HP 滤波法的基本方法。时间序列yt 由趋势部分gt 和周期波动部分Ct 构成,即   yt=gt+ct t=1,…T     Hodrick 和Prescott(1980,1997)采用对称的数据移动平均方法原理,设计一个滤波器(即HP 滤波器),该滤波器从时间序列yt 中得到一个平滑的序列gt(即趋势部分),gt 是下列问题的解:
                                     Min{Σ(yt – gt )2+λΣ [(gt – gt- 1 )(gt – gt- 2 )]}
其中,大括号中多项式的第一部分是对波动成分的度量,第二部分是对趋势成分“平滑程度”的度量,λ 为正数,用以调节两者的比重,称为平滑参数。
HP 滤波方法的一个重要问题就是平滑参数λ 的取值,不同的λ值不同的滤波器,决定了不同的周期方式和平滑度。在处理季度数据时经济学家基本达成了共识———沿用Hodrick 和Prescott(1980,1997)1600 这一取值。但是,在处理其他频率数据尤其是年度数据时,经济学家对λ的取值则有较大分歧。Backus and Kehoe (1992) 认为平滑参数λ=100,这也是时间序列软件Eviews 的默认值;Correia,Neves and Rebelo(1992),Cooley and Ohanian(1991)认为λ 的取值应该为400;Baxter and
King (1999)的研究表明λ=10 更合理;Ravn and Uhlig(2002)认为λ 应该是观测数据频率的4 次方,即年度数据应取6.25。通过在频域上比较HP 滤波转移方程的图像、分析HP 滤波的转移方程、以及蒙特卡罗实验,Ravn and Uhlig 发现4 次方调整最佳。该结论被Iacobucci 和Noullez(2004)进一步证实。
对HP 滤波可以有三种理解,其一,HP 滤波可以看作是一个为了从数据中抽出一条平滑曲线而精确设定的算法;其二,HP 滤波可看作一个特殊的射影问题,其目的是从数据yt 中抽取某个信号gt,yt 被认为是gt和正交噪声ct 的叠加;其三,HP 滤波可看作一个近似高通滤波器(High- pass Filter),能分离出周期在8 年以下的高频成分(汤铎铎,2007)。HP 滤波法往往只考虑实际产出这一个指标,十分简便有效。不过该方法也由于存在不足而招致一些批评和争论,如没有体现潜在产出的供给面特征。但HP 滤波经受住了考验,获得了广泛的引用和认可,成为时间序列消除趋势方法的一个基准。


载入数据

如前所述,南非的GDP数据将其作为时间序列存储在gdp中,我们执行以下命令。

为了确保这些计算和提取的结果是正确的,我们检查一下数据的图表。

线性滤波器_去除数据线性趋势_

为了估计一个线性趋势,我们可以利用一个包括时间趋势和常数的线性回归模型。为了估计这样一个模型,我们使用lm命令,如下。

回归的拟合值包含与线性趋势有关的信息。这些信息需要从模型对象lin.mod中提取,在上面的块中,我们将这些值分配给时间序列对象linear。然后从数据中剔除趋势,就得到了周期。

然后我们可以借助下面的命令来绘制这个结果,其中趋势和周期被绘制在不同的数字上。

霍德里克 – 普雷斯科特 (Hodrick-Prescott,HP) _滤波器_对数据进行去趋势处理

要用流行的HP滤波法分解这个数据。在这种情况下,我们将lambda的值设置为1600,这也是对季度数据的建议。

这似乎更准确地反映了我们对南非经济表现的理解。

用Baxter-King滤波器去趋势数据

为了利用Baxter-King 滤波器。在这种情况下,我们需要指定周期的频带,其上限被设定为32,下限被设定为6。

这似乎再次为南非经济活动的周期性提供了一个相当准确的表述。还要注意的是,周期的表示比以前提供的要平滑得多,因为噪音不包括在周期中。

Christiano-Fitzgerald滤波器去趋势数据

这个滤波器的性质与上面提供的非常相似。此外,产生与Baxter-King滤波器高度相似的结果。

用Beveridge-Nelson分解法 “去趋势 “数据 

为了将数据分解为随机趋势和平稳周期,我们可以采用Beveridge-Nelson分解法。当采用这种技术时,我们需要指定与平稳部分有关的滞后期的数量。在我下面的例子中,我假设有八个滞后期。

比较周期的不同衡量标准

然后,我们可以将所有这些结果结合在一张图上,考虑各自的相似性和差异。在这个例子中,我创建了一个时间序列ts.union,但是我也可以先绘制一个单一的序列,然后再使用lines命令在上面绘制连续的图。


R语言从经济时间序列中用HP滤波器,小波滤波和经验模态分解等提取周期性成分分析

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谱分解

在我们考虑使用谱技术之前,最好先清除当前环境中的所有变量,并关闭所有的图。下一步是确保你可以通过使用library命令来访问这些包中的程序。


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使用谱技术进行分解。我们可以为三个时间序列变量生成数值,然后将它们组合成一个单一的变量。

为了观察这些变量,我们可以把它们绘制在一个单独的轴上。

此后,我们可以使用周期图来考虑这些时间序列变量的每一个属性。

当然,我们可以利用一个过滤器,从总体时间序列变量中去除一些不需要的成分。为此,我们可以应用上下限相对较窄的Christiano-Fitzgerald滤波器。

此后,我们使用应用于与周期有关的信息的周期图,来调查它是否成功地剔除了一些频率成分。

这个结果将表明,滤波器已经排除了大部分的高频率成分。为了看看这个周期与之前的数据有什么关系,我们把通过滤波器的周期性信息绘制在分量上。此外,我们还将这个结果绘制在综合周期的变量上。

在这两种情况下,它似乎都对过程中的趋势做了合理的描述。

南非商业周期的谱分解法

为了考虑如何在实践中使用这些频谱分解,我们现在可以考虑将这些技术应用于南非商业周期的各种特征中。

下一步将是运行所有的过滤器,这些过滤器被应用于识别南非商业周期的不同方法。

现在,让我们对商业周期的每一个标准应用一个周期图。

线性滤波器提供了一个很差的结果,因为趋势明显占主导地位(这不是周期应该有的)。这与Hodrick-Prescott滤波器的特征形成对比,后者的趋势信息已经被去除。Baxter & King和Christiano & Fitzgerald的带通滤波器也是这种情况。在这两种情况下,噪声也已经被去除。最后的结果与Beveridge-Nelson分解有关,我们注意到周期包括大量的趋势和大量的噪声。

小波分解

为了提供一个小波分解的例子,我们将把该方法应用于南非通货膨胀的数据。这将允许使用在这个过程中推导出对趋势的另一种衡量方法,这可以被认为是代表核心通货膨胀。请注意,这种技术可以应用于任何阶数的单整数据,所以我们不需要首先考虑变量的单整阶数。

然后,我们将利用消费者价格指数的月度数据,该数据包含在SARB的季度公告中。数据可以追溯到2002年。为了计算通货膨胀的同比指标,我们使用diff和lag命令。

为了确保所有这些变量的转换都已正确进行,我们对数据进行绘图。

由于我们在这种情况下主要对识别平滑的趋势感兴趣,我们将使用贝希斯函数。这样的函数是Daubechies 4小波,它应用修正的离散小波变换方法。此外,我们还将使用三个母小波来处理各自的高频成分。

然后我们可以为每个独立的频率成分绘制结果,如下所示。

如果我们现在想在数据上绘制趋势(父小波)。

请注意,由于各自的频段是相加的,我们可以将其中一个母频段加入到趋势中,如下所示。

相关经济变量的周期性成分之间的相关性

为了确定周期的特征是否合适,我们可以考虑宏观经济总量的一些不同周期性方法之间的相关性。例如,我们可以考虑产出和生产(或就业)的周期性在不同的滞后期应该是相关的。如果它们不相关,那么该方法可能无法准确描述各自变量的周期性成分。

在本文使用的例子中,代码可能有点难以理解,但我们鼓励你自己去研究,以提高你对这个编码环境的总体理解。 

下一步是读入数据并为数据的各种周期性成分创建一些矩阵。

使用上面包含的方法对数据进行过滤。

计算不同提前期和滞后期的相关关系。

绘制结果。


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关于作者

Kaizong Ye拓端研究室(TRL)的研究员。

本文借鉴了作者最近为《R语言数据分析挖掘必知必会 》课堂做的准备。

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