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通过以下方式将数据转换为年度序列：

1. 在估计期内将数据转换为季度比率
2. 将季度比率年度化

diff(Data(2:230))./Data(2:229); % 季度比率
100*((1 + qrate).^4 - 1);       % 年度比率

估计模型

显示估计的特定于状态的动态模型。

 
  varm with properties:
 
     Description: "ARIMA(0,0,0) Model (Gaussian Distribution)"
     SeriesNames: "Y1" 
       NumSeries: 1
               P: 0
        Constant: 4.90146
              AR: {}
           Trend: 0
            Beta: [1×0 matrix]
      Covariance: 12.087
 
   1-Dimensional VAR(0) Model

  varm with properties:
 
     Description: "ARIMA(0,0,0) Model (Gaussian Distribution)"
     SeriesNames: "Y1" 
       NumSeries: 1
               P: 0
        Constant: 0.0084884
              AR: {}
           Trend: 0
            Beta: [1×0 matrix]
      Covariance: 12.6876
 
   1-Dimensional VAR(0) Model

显示估计的状态转移矩阵。

使模型拟合数据。当估计过程终止时，绘制对数似然比与迭代步骤。

Plot(Mdl,Mdl0);

为DGP创建完全指定的Markov转换动态回归模型。

模拟来自DGP的路径

从DGP生成10条长度为1000的随机路径。

rng(1); % 重现性
N = 10;
n = 1000;
simulate(DGP,n,'Numpaths',N);

Data 是模拟的1000 x 10矩阵。

创建估计模型

创建一个部分指定的马尔可夫转换动态回归模型，该模型具有与数据生成过程相同的结构，但是指定了未知的转移矩阵和未知的子模型系数。

创建包含初始值的模型

创建一个完全指定的马尔可夫转换动态回归模型，该模型具有与相同的结构 Mdl，但是将所有可估计的参数都设置为初始值。

P0 = 0.5*ones(2);
dtmc(P0);
 
ms(mc0,[mdl01,mdl02]);

估计模型

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使模型拟合每个模拟路径。对于每条路径，在EM算法的每次迭代中绘制对数似然图。

 
figure
hold on
 
for i = 1:N
 
    estimate(Data(:,i),'Plot',true);
    
    
end
 
hold off

评估准确性

计算每个估计参数的蒙特卡洛平均值。

PEstimate = 2×2
 
    0.7065    0.2935
    0.1023    0.8977
 

预采样数据

考虑 估计马尔可夫转换动态回归模型中的数据，但假设关注期间为1960：Q1–2004：Q2。另外，考虑向每个子模型添加一个自回归项。

创建部分指定的马尔可夫转换动态回归模型进行估计。指定AR（1）子模型。

arima(1,0,0);
ms(mc,[mdl; mdl]);

创建包含用于估计过程的初始参数值的模型。

P0 = 0.5*ones(2);
mc(P0,'StateNames');

加载数据。将整个集合转换为年化利率序列。

使用与年率序列相关的日期来确定预采样和估计采样周期。由于转换应用了一阶差分，因此必须从原始样本中删除第一个观察日期。

dates = datetime(dates(2:end),'ConvertFrom','datenum',...
    'Format','yyyy:QQQ','Locale','en_US');
estPrd = datetime(["1960:Q2" "2004:Q2"],'InputFormat','yyyy:QQQ',...
    'Format','yyyy:QQQ','Locale','en_US');

使模型拟合估计样本数据。指定预采样观测值，并在估计过程终止时在每次迭代时绘制对数似然度。

访问预期的平滑状态概率和对数似然

在估计马尔可夫转换动态回归模型中考虑模型和数据 。

创建部分指定的模型进行估计。

创建完全指定的模型，其中包含估计过程的初始参数值。

加载并预处理数据。

使模型拟合数据。当算法终止时，返回预期的平滑状态概率和对数似然。

[EstMdl,SS,logL] = estimate(Mdl,Mdl0,arate);

SS 是预期平滑状态概率的228 x 2矩阵；行对应于估计样本中的周期，列对应于方案。 logL 是最终的对数似然。

显示估计样本中最后一个时期的预期平滑状态概率，并显示最终对数似然。

ans = 1×2
 
    0.8985    0.1015
 

logL = -639.4962

执行约束估计

将模拟数据拟合到具有VARX子模型的Markov转换动态回归模型。指定用于估计的相等约束。

为DGP创建模型

为转换区制创建一个完全指定的三态离散时间马尔可夫链模型。

P = [0.8 0.1 0.1; 0.2 0.6 0.2; 0 0.1 0.9];
mc = dt(P);

对于每种状态，为响应过程创建一个完全指定的VARX（1）模型。为所有子模型指定相同的模型常数和滞后1 AR系数矩阵。对于每个模型，为一个外生变量指定不同的回归系数。

% 常数
C = [1;-1];
 
% 自回归系数
AR = {[0.6 0.1; 0.4 0.2]};
 
% 回归系数
Beta1 = [0.2;-0.4];
 
 
% VAR 子模型
dgp = varm('Constant',C,'AR',AR,'Covariance',5*eye(2));

为DGP创建完全指定的Markov转换动态回归模型。

ms(mc,[dgp1; dgp2; dgp3]);

模拟来自DGP的数据

通过从均值0和方差100的高斯分布中生成1000个观测值来模拟外生序列的数据。

rng(1); % 重现性
X = 10*randn(1000,1);

从DGP生成长度为1000的随机路径。为子模型回归指定模拟的外部数据。

Data = simulate(DGP,1000,'X',X);

Data 是模拟的1000 x 1向量。

创建估计模型

使模型拟合模拟数据。指定回归的外部数据。在EM算法的每次迭代中绘制对数似然。

figureEstMdl = estimate(Mdl,Mdl0,Data,'X',X,'IterationPlot',true);

评估准确性

将估计的回归系数向量和转移矩阵与其真实值进行比较。

Beta1 = 2×1
 
    0.2000
   -0.4000
 

Beta1Estimate = 2×1
 
    0.1596
   -0.4040
 

Beta2 = 2×1
 
    0.6000
   -1.0000
 

Beta2Estimate = 2×1
 
    0.5888
   -0.9771
 

Beta3 = 2×1
 
    0.9000
   -1.3000
 

Beta3Estimate = 2×1
 
    0.8987
   -1.2991
 

P = 3×3
 
    0.8000    0.1000    0.1000
    0.2000    0.6000    0.2000
         0    0.1000    0.9000
 

PEstimate = 3×3
 
    0.7787    0.0856    0.1357
    0.1366    0.6906    0.1727
    0.0086    0.0787    0.9127