向量自回归（VAR）模型的一般缺点是，估计系数的数量与滞后的数量成比例地增加。
因此，随着滞后次数的增加，每个参数可用的信息较少。
在贝叶斯VAR文献中，减轻这种所谓_的维数诅咒的_一种方法是_随机搜索变量选择_（SSVS），由George等人提出（2008）。
向量自回归（VAR)模型不是具备经济学理论基础的结构化计量经济模型， 而是非结构化的时间序列模型。具体而言，VAR模型选择一组关联性较高的内生 经济变量组成一个向量，通过多阶滞后回归来估计各变量之间的关系，从而得到 相关经济变量的预测模型。常见的非限制性VAR模型存在一些明显缺陷：VAR模 型忽略了先验信息，并对所有要估计的参数都预设了相同的重要性，这可能引发 实证研究采用错误的模型；非限制性VAR模型需要估计过多的参数，导致“过参 数化”的情况比较严重，同时，由于宏观经济数据时间序列一般都较短，整个 VAR预测系统的自由度不足、稳健性较差。
Litterman (1986)提出的贝叶斯向量自回归模型（BVAR)是VAR模型的一 个扩展。遵循贝叶斯统计思想，BVAR模型假设系数矩阵中各元素分别满足某一 先验分布，通过设置系数矩阵中各元素的数学期望和标准差的变动范围，控制各 经济变量对整个预测系统的影响，从而达到降低预测误差、提高系统预测精度的目的。
SSVS的基本思想是将通常使用的先验方差分配给应包含在模型中的参数，将不相关参数的先验方差接近零。
这样，通常就可以估算出相关参数，并且无关变量的后验值接近于零，因此它们对预测和冲激响应没有显着影响。这是通过在模型之前添加层次结构来实现的，其中在采样算法的每个步骤中评估变量的相关性。
这篇文章介绍了使用SSVS估计贝叶斯向量自回归（BVAR）模型。它使用Lütkepohl（2007）的数据集E1，其中包含有关1960Q1至1982Q4德国固定投资，可支配收入和消费支出的数据。加载数据并生成数据：
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# 加载和转换数据 e1 <- diff(log(e1)) # 生成VAR data <- gen_var(e1, p = 4, deterministic = "const") # 获取数据矩阵 y <- data$Y[, 1:71] x <- data$Z[, 1:71] |
估算值
根据George等人所述的半自动方法来设置参数的先验方差（2008）。对于所有变量，先验包含概率设置为0.5。误差方差-协方差矩阵的先验信息不足。
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# 重置随机数提高可重复性 set.seed(1234567) t <- ncol(y) # 观察数 k <- nrow(y) # 内生变量数 m <- k * nrow(x) # 估计系数数 # 系数先验 a_mu_prior <- matrix(0, m) # 先验均值的向量 # SSVS先验（半自动方法） ols <- tcrossprod(y, x) %*% solve(tcrossprod(x)) # OLS估计 sigma_ols <- tcrossprod(y - ols %*% x) / (t - nrow(x)) # OLS误差协方差矩阵 cov_ols <- kronecker(solve(tcrossprod(x)), sigma_ols) se_ols <- matrix(sqrt(diag(cov_ols))) # OLS标准误 # 先验参数 prob_prior <- matrix(0.5, m) # 方差-协方差矩阵 u_sigma_df_prior <- 0 # 方差-协方差矩阵 u_sigma_scale_prior <- diag(0, k) # 先验协方差矩阵 u_sigma_df_post <- t + u_sigma_df_prior # 后验自由度 |
初始参数值设置为零，这意味着在Gibbs采样器的第一步中应相对自由地估算所有参数。
可以直接将SSVS添加到VAR模型的标准Gibbs采样器算法中。在此示例中，常数项从SSVS中排除，这可以通过指定来实现include = 1:36。具有SSVS的Gibbs采样器的输出可以用通常的方式进一步分析。因此，可以通过计算参数的绘制方式获得点估计：
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## invest income cons ## invest.1 -0.102 0.011 -0.002 ## income.1 0.044 -0.031 0.168 ## cons.1 0.074 0.140 -0.287 ## invest.2 -0.013 0.002 0.004 ## income.2 0.015 0.004 0.315 ## cons.2 0.027 -0.001 0.006 ## invest.3 0.033 0.000 0.000 ## income.3 -0.008 0.021 0.013 ## cons.3 -0.043 0.007 0.019 ## invest.4 0.250 0.001 -0.005 ## income.4 -0.064 -0.010 0.025 ## cons.4 -0.023 0.001 0.000 ## const 0.014 0.017 0.014 |
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还可以通过计算变量的均值来获得每个变量的后验概率。从下面的输出中可以看出，在VAR（4）模型中似乎只有几个变量是相关的。常数项的概率为100％，因为它们已从SSVS中排除。
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## invest income cons ## invest.1 0.43 0.23 0.10 ## income.1 0.10 0.18 0.67 ## cons.1 0.11 0.40 0.77 ## invest.2 0.11 0.09 0.14 ## income.2 0.08 0.07 0.98 ## cons.2 0.07 0.06 0.08 ## invest.3 0.19 0.07 0.06 ## income.3 0.06 0.13 0.10 ## cons.3 0.09 0.07 0.12 ## invest.4 0.78 0.09 0.16 ## income.4 0.13 0.09 0.18 ## cons.4 0.09 0.07 0.06 ## const 1.00 1.00 1.00 |
给定这些值，研究人员可以按照常规方式进行操作，并根据Gibbs采样器的输出获得预测和脉冲响应。这种方法的优势在于它不仅考虑了参数不确定性，而且还考虑了模型不确定性。
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hist(draws_a[6,], |
这可以通过系数的直方图来说明，该直方图描述了收入的第一个滞后项与消费当前值之间的关系。
通过两个峰描述模型不确定性，并通过右峰在它们周围的分布来描述参数不确定性。
但是，如果研究人员不希望使用模型，变量的相关性可能会从采样算法的一个步骤更改为另一个步骤，那么另一种方法将是仅使用高概率的模型。这可以通过进一步的模拟来完成，在该模拟中，对于不相关的变量使用非常严格的先验，而对于相关参数则使用没有信息的先验。
后方抽取的均值类似于Lütkepohl（2007，5.2.10节）中的OLS估计值：
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## invest income cons ## invest.1 -0.219 0.001 -0.001 ## income.1 0.000 0.000 0.262 ## cons.1 0.000 0.238 -0.334 ## invest.2 0.000 0.000 0.001 ## income.2 0.000 0.000 0.329 ## cons.2 0.000 0.000 0.000 ## invest.3 0.000 0.000 0.000 ## income.3 0.000 0.000 0.000 ## cons.3 0.000 0.000 0.000 ## invest.4 0.328 0.000 -0.001 ## income.4 0.000 0.000 0.000 ## cons.4 0.000 0.000 0.000 ## const 0.015 0.015 0.014 |
bvar功能可用于将Gibbs采样器的相关输出收集到标准化对象中，例如predict获得预测或irf进行脉冲响应分析。
评价
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hin(bvar_est, thin = 5) |
预测
可以使用函数获得置信区间的预测predict。
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plot(bvar_pred) |
脉冲响应分析
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plot(OIR |
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