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f <- function(x) exp(-0.5*x) * sin(10*pi*x)
f(0.5)

# 绘制
curve(0, 1, n = 200)

# 与R中内置的线性回归进行比较
lm(y ~ x, data = dat)

  Rosenbrock香蕉函数及其梯度

banana <- function(x)
    c(-400  x[1]  (x[2] - x[1]  x[1]) - 2  (1 - x[1]),
       200  (x[2] - x[1]  x[1]))
 optim(c(-1.2, 1), f_banana)

optim(c(-1.2, 1), f, gr, method = "BFGS")

下面的例子使用了界约束。

最小化

约束： 

p <- length(x); sum(c(1, rep(4, p-1)) * (x - c(1, x[-p])^2)^2) }
# 25维度约束
optim(rep(3, 25), f,lower = rep(2, 25), upper = rep(4

这个例子使用模拟退火法（用于全局优化）。

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#全局最小值在-15左右
res <- optim(50, f, method = "SANN")
 
 

 
# 现在进行局部改进(通常只改进了一小部分)
optim(res$par, f , method = "BFGS")

• constrOptim()。使用自适应约束算法，在线性不等式约束下最小化一个函数（调用optim()）。

• nlm(): 这个函数使用牛顿式算法进行目标函数的最小化。

nlm(f, c(10,10))
 

• nlminb(): 进行无界约束优化。.

nlminb(c(-1.2, 1), f)
 

nlminb(c(-1.2, 1), f, gr)
 

optim

# opm() 可以同时使用几个方法
opm(  f , method = c("Nelder-Mead", "BFGS"))

全局优化

全局优化与局部优化的理念完全不同（全局优化求解器通常被称为随机求解器，试图避免局部最优点）。

特定类别问题的求解器

如果要解决的问题属于某一类问题，如LS、LP、MILP、QP、SOCP或SDP，那么使用该类问题的专用求解器会更好。

最小二乘法 (LS)

线性最小二乘法（LS）问题是将最小化，可能有界或线性约束。

线性规划(LP)

函数solveLP()，可以方便地解决以下形式的LP：

#> 加载所需软件包
 
 
cvec <- c(1800, 600, 600)  # 毛利率
bvec <- c(40, 90, 2500)  # 捐赠量
 
# 运行求解器
solveLP(maximum = TRUE)

#> 加载所需软件包

cvec <- c(1800, 600, 600)  # 毛利率
bvec <- c(40, 90, 2500)  # 捐赠量

# 运行求解器
solveLP(maximum = TRUE)

 
# 再次运行，这次要求三个变量都是整数
 lp(  int.vec = 1:3)

solution

二次规划 (QP)

可以方便地解决以下形式的QP
# 设置问题:  #   minimize    -(0 5 0) %*% x + 1/2 x^T x #   subject to  A^T x >= b #   with b = (-8,2,0)^T #       (-4 2  0) #   A = (-3 1 -2) #       ( 0 0  1) #运行求解 solve(Dmat,...)

解决具有绝对值约束和目标函数中的绝对值的二次规划。

二阶锥规划 (SOCP)

有几个包:

• ECOSolveR提供了一个与嵌入式COnic Solver（ECOS）的接口，这是一个著名的、高效的、稳健的C语言库，用于解决凸问题。
• CLSOCP提供了一个用于解决SOCP问题的一步平滑牛顿方法的实现。

优化基础

我们已经看到了两个包，它们是许多其他求解器的包。

用于凸问题、MIP和非凸问题

ROI包为处理R中的优化问题提供了一个框架。它使用面向对象的方法来定义和解决R中的各种优化任务，这些任务可以来自不同的问题类别（例如，线性、二次、非线性规划问题）。

LP – 考虑 LP:

最大化:

约束：

#> ROI: R 优化基础设施
#> 求解器插件: nlminb, ecos, lpsolve, scs.
#> 默认求解器: auto.

 OP(objective = L_objective(c(3, 7, -12)),...,
           maximum = TRUE)

#> 投资回报率优化问题:

# 让我们来看看可用的求解器

# solve it
res <- ROI_solve(prob)
res

MILP – 考虑先前的LP，并通过添加约束条件x2,x3∈Z使其成为一个MILP.

# 只需修改之前的问题
types(prob) <- c("C", "I", "I")
prob

BLP – 考虑二元线性规划 (BLP):

最小化：

约束：

 OP(objective = L_objective,..., ,
           types = rep("B", 5))
ROI_solve(prob)

#> Optimal solution found.
#> The objective value is: -1.01e+02

SOCP – 考虑SOCP:

最大化:

约束:

并注意到SOC约束  可以写成或 ，在代码中实现为：。

 OP(objective = L_objective,...,
           maximum = TRUE)

SDP–考虑SDP:

并注意SDP约束可以写成（大小为3是因为在我们的问题中，矩阵为2×2，但vech()提取了3个独立变量，因为矩阵是对称的）。

OP(objective = L_objective,..., 
                                       rhs ))

NLP – 考虑非线性规划(NLP)

最大化约束 。

  

sum(huber(y - X %*% beta, M)
Problem(Minimize(obj))
solve(prob)

弹性网正则化 – 我们现在要解决的问题是：最小化

# 定义正则化项
elastic<- function(beta) {
  ridge <- (1 - alpha) * sum(beta^2)
  lasso <- alpha * p_norm(beta, 1)


# 定义问题并解决它

sum((y - X %*% beta)^2) + elastic(beta, lambda, alpha)
Problem(Minimize(obj))
solve(prob)

稀疏逆协方差矩阵–考虑矩阵值的凸问题：最大化，条件是

log\_det(X) - matrix\_trace(X %*% S)
list(sum(abs(X)) <= alpha)

协方差–考虑矩阵值的凸问题：在的条件下，最大化。

constr <- list(Sigma\[1,1\] == 0.2, Sigma\[1,2\] >= 0, Sigma\[1,3\] >= 0,
               Sigma\[2,2\] == 0.1, Sigma\[2,3\] <= 0, Sigma\[2,4\] <= 0,
               Sigma\[3,3\] == 0.3, Sigma\[3,4\] >= 0, Sigma\[4,4\] == 0.1)

投资组合优化–考虑马科维茨投资组合设计：最大化，

Problem(Maximize(obj), constr)
solve(prob)

结论

R语言中可用的求解器的数量很多。建议采取以下步骤。

• 如果是凸优化问题，那么开始进行初步测试。
• 如果速度不够快，使用ROI。
• 如果仍然需要更快的速度，那么如果问题属于定义好的类别之一，则使用该类别专用的求解器（例如，对于LP，推荐使用lpSolve，对于QP则使用quadprog）。
• 然而，如果问题不属于任何类别，那么就必须使用非线性优化的一般求解器。在这个意义上，如果一个局部的解决方案就够了，那么可以用许多求解器的包。如果需要全局求解器，那么软件包gloptim是一个不错的选择，它是许多全局求解器的包。