用Python的Numpy求解线性方程组

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在本文中，您将看到如何使用Python的Numpy库解决线性方程组。

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由Kaizong Ye，Liao Bao撰写

维基百科将线性方程组定义为：

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在数学中，线性方程组（或线性系统）是两个或多个涉及同一组变量的线性方程的集合。

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预备工作：线性方程组类型的判断

对于 [公式] ，(a) [公式] ，则解唯一，称为相容方程组；(b) [公式] ，则解无穷，称为超定方程组；(c) [公式] ，则无解，称为不相容方程组。

此外，判断方程组是否有解还可以用以下2个充要条件：(a) 如果[公式] 是左可逆矩阵， [公式] 是它的一个左逆矩阵，若 [公式] 成立，则 [公式] 有唯一解，且解为 [公式] ；(b) 如果[公式] 是右可逆矩阵，则[公式] 对任何 [公式] 都有解，若 [公式] 时，则方程组的解可表示成 [公式] ，其中 [公式] 是 [公式] 的一个右逆矩阵。（单边逆的定义、判别和求法，参见【1】P178-182）

首先讨论相容线性方程组的解法。

一. 三角分解法

思路： [公式] 被三角分解成[公式] 后，将[公式] 转化为[公式] ，算出 [公式] 。因为 [公式] 是上三角矩阵，容易求解出最后一行的 [公式] ；将[公式]代入倒数第二行，容易求解出 [公式] ；将[公式], [公式] 代入倒数第三行，容易求解出 [公式]，以此类推。

1.1 QR分解

1.1.1 形式一: 满秩方阵

(a) 对 [公式] 进行列分块，得列分块向量 [公式]

(b) 对列分块向量施密特正交化，得到正交向量 [公式] ，其中

[公式]

(c) 令系数[公式]

(d) 最后得到[公式]

1. 拓展：上述过程中[公式]，同时还可进行 [公式] [公式] 分解，在步骤(a)中行分块即可。 类似地，[公式]时可进行 [公式] 或 [公式] 分解。区别在于 [公式] 是正交矩阵，而 [公式] 是酉矩阵。下面开始仅讨论复矩阵的情形，相应的实矩阵情形很好类推。

1.1.2 形式二: 行满秩矩阵

[公式] ，其中 [公式] 为 [公式] 阶正线下三角复矩阵， [公式] 为 [公式] 阶酉矩阵，[公式] 为零矩阵。（【1】P92证明）

1.1.3 形式三: 列满秩矩阵

[公式] ，其中 [公式] 为 [公式] 阶酉矩阵，[公式] 为 [公式] 阶正线上三角复矩阵，[公式] 为零矩阵。（【1】P92证明）

1.1.4 形式四: 任意矩阵

[公式]，其中[公式] 为 [公式] 阶酉矩阵， [公式] 为 [公式] 阶酉矩阵，[公式] 为 [公式] 阶正线下三角复矩阵，[公式] 为零矩阵。还可以分解为[公式] ，[公式] 为 [公式] 阶正线下三角复矩阵。（【1】P94证明）

1.2 LU分解

1.2.1 形式一: 满秩方阵

[公式] ，[公式] 的各阶顺序主子式行列式不为零， [公式] 的主对角线上元素不为0。（【1】P89-92证明，4个命题等价）

1. 参数含义：[公式] 为上三角复矩阵， [公式] 为下三角复矩阵， [公式] 为单位上三角复矩阵， [公式] 为单位下三角复矩阵， [公式] 为对角矩阵。
2. 拓展：同样地， [公式] 的分解形式类推，相应的所得则为实矩阵。
3. 分解方法：
(1) 待定系数法
(a) 写出含待定系数的分解形式

[公式]
(b) 按照规则“ 先行后列”、“列除行不除”、“旧元素减去其所在行和列前(k-1)个元素的对应乘积然后求和”，对照上式一步步地写出待定系数

[公式]
(2) 高斯消元法
(a) 搭建框架
[公式]
(b) 提取高斯消元（即初等行变换）过程中的乘子和结果。(注意行列的对应，第 [公式] 行对第 [公式] 行做初等行变换的乘子，对应到结果矩阵的 [公式] 元素）

[公式]
4. 注意：
(a) 利用高斯消元法对矩阵 [公式] 进行 [公式] 矩阵分解时，绝对值小的主元可能产生麻烦，因此一般在进行前先判断是否对行进行调整。假设调整后的矩阵是 [公式] ,分解为 [公式] ，那么， [公式] 的分解又该表示为什么形式呢？我们用一个单位矩阵 [公式] 来表征这种变换，如果要交换矩阵 [公式] 中的一些行，那我们就对单位矩阵 [公式] 中相应的行进行交换，得到矩阵 [公式] 。因此有 [公式] 。
(b) 得到 [公式] 后，我们可以很容易地基于此，将 [公式] 拆成 [公式] 的形式从而得到 [公式] ；再将[公式] 合并为 [公式]从而得到[公式] ，过程如下：

[公式]
(c) 对于三对角矩阵，如果它的非零系数在主对角线上和两条次对角线上，那么可以对其进行 [公式] 分解，上述的两种分解方法都可以使用。

1.2.2 形式二: 行满秩矩阵

[公式] ，其中 [公式] 是 [公式] 阶正线下三角矩阵， [公式] ，表示以 [公式] 个两两正交的单位向量为行组成的矩阵的集合。（【1】P93证明，证明过程给出了分解步骤）

1.2.3 形式三: 列满秩矩阵

[公式] ，其中，[公式] 是 [公式] 阶正线上三角矩阵，[公式]，表示以 [公式] 个两两正交的单位向量为列组成的矩阵的集合。（【1】P93证明，证明过程给出了分解步骤）

1.3 Cholesky分解

[公式]， [公式] 是正定Hermite矩阵，[公式] 是正线上三角复矩阵。类似的， [公式] 则要求 [公式] 为实对称正定矩阵。

1. 拓展：对于 [公式] 同时还是正定Hermite矩阵的情况，它还可以分解为 [公式] ，这里的 [公式] 为单位上三角复矩阵， [公式] 为对角阵。
2. 分解方法（即待定系数法）：
[公式]

二. 迭代解法

2.1 迭代思想

从最简单的一元函数零点问题开始考虑，假设 [公式] 具有一个零点 [公式] 使得 [公式] 成立，通过变换我们可以得到等式 [公式] 。通常情况下，我们可以直接把 [公式] 变换为 [公式] 的形式，容易发现，仅当 [公式] 时该形式才成立，这时我们把通过 [公式] 求解[公式]的问题转换成了通过[公式]求解 [公式] 的问题，显然后者更容易求解。为什么呢？我们选择一个适当的初始值 [公式] 代入到等式右边，可以在等式左边得到 [公式] ，如果 [公式] ，我们继续将 [公式] 代入到等式右边，继续可以在等式左边得到 [公式] ，重复进行该操作，我们得到一系列的 [公式] 组成一个数列[公式] 。这就是格式为 [公式] 的迭代计算，如果该数列的极限 [公式] 存在且等于 [公式] ，则称该迭代格式收敛，[公式] 就是我们求解的零点，也叫不动点。这个例子是最简单的“不动点迭代法”，其实我们还可以自己构造出各式各样的迭代格式，然而不一定每种迭代格式都是可行的。那我们又该怎么判断一个迭代格式是否可行呢？

首先判断迭代格式的不动点的存在唯一性，然后再判断其收敛性，下面以“不动点迭代法”为例，可以证明以下定理：

(1-a) （存在唯一性）设 [公式] 且 [公式] 对一切 [公式] 成立，则 [公式] 在 [公式] 上一定有不动点。进一步设 [公式] 且存在常数 [公式] 使 [公式] 对一切 [公式] 成立，则 [公式] 在 [公式] 上的不动点是唯一的（【2】P25-26证明）。

(1-b) （全局收敛性）设 [公式] 且满足（1） [公式] 对一切 [公式] 成立；（2）存在常数 [公式] 使 [公式] 对一切 [公式] 成立，则对任意的 [公式] 产生的序列 [公式] 必收敛到 [公式] 的不动点（【2】P26证明）。

(1-c) （局部收敛性）设 [公式] 为 [公式] 的不动点， [公式] 在 [公式] 连续且 [公式] ，则存在 [公式] 的某邻域对任意 [公式] 属于该邻域，迭代格式 [公式] 产生的序列 [公式] 收敛到不动点 [公式] 。

当然，一个迭代格式就像极限那样，无穷逼近与不动点，因此我们要对其设置终止准则。同样以“不动点迭代法”为例，可以证明以下定理：

(1-d)（ 全局收敛性的误差估计）设 [公式] 且满足（1） [公式] 对一切 [公式] 成立；（2）存在常数 [公式] 使 [公式] 对一切 [公式] 成立，则对任意 [公式] 产生的序列满足下面两式： [公式] （【2】P26-27证明）。

“不动点迭代法”是在原式的基础上进行构造的，除此之外，我们还可以采用“牛顿迭代法”，它先在原式的基础上近似后再进行构造的，具体做法为：用 [公式] 的泰勒展开式 [公式] 中的线性函数 [公式] 近似代替函数 [公式] ，则将求解 [公式] 的问题转换为求解[公式] 的问题。由此很容易得到牛顿迭代格式为式[公式] 。（【3】P32-34证明，牛顿迭代法的存在唯一性、收敛性等）

最后，不同迭代格式之间如何进行优劣比较呢？考察各迭代格式的收敛速度即可。收敛速度的定义为：

设 [公式] （即序列 [公式] 收敛于 [公式] ），如果存在 [公式] 使得 [公式] ，则称数列 [公式] 为 [公式] 阶收敛。特别地：当 [公式]时，称为线性收敛； 当 [公式]时，称为超线性收敛； 当 [公式]时，称为平方收敛。序列的收敛阶数越高，则收敛速度越快。

判断一个迭代格式的收敛阶数可用以下定理：

设 [公式] 为方程 [公式] 的根。如果迭代函数 [公式] 满足条件：（1）[公式]在 [公式] 邻近是 [公式] 次连续可微的 [公式] ；（2） [公式] 而 [公式] ，则当初值 [公式] 取得充分靠近 [公式] 时，迭代格式 [公式] 是 [公式] 阶收敛的。

至此，迭代思想的核心大致总结为4个方面：“根的存在唯一性”、“收敛性”、“终止准则”和“收敛速度”。

1. 注意：(1) 需要构造迭代格式时，如果没指明需要构造的形式，往往我们可以首先考虑牛顿迭代法；(2) 牛顿迭代法至少二阶收敛的前提是没有重根，但如果遇到有重根的情况则需要更加仔细地代入公式进去算，因为在计算过程中，能够导致为0的元素可能分子分母消去，比如 [公式] ;(3) 牛顿迭代法擅长处理非线性方程，所以在对于实际问题构造时往往要往非线性方程构造，比如对于同一个问题构造为 [公式] 是无法使用牛顿迭代法的，应该构造为 [公式] 。预备工作：线性方程组类型的判断

对于 [公式] ，(a) [公式] ，则解唯一，称为相容方程组；(b) [公式] ，则解无穷，称为超定方程组；(c) [公式] ，则无解，称为不相容方程组。

此外，判断方程组是否有解还可以用以下2个充要条件：(a) 如果[公式] 是左可逆矩阵， [公式] 是它的一个左逆矩阵，若 [公式] 成立，则 [公式] 有唯一解，且解为 [公式] ；(b) 如果[公式] 是右可逆矩阵，则[公式] 对任何 [公式] 都有解，若 [公式] 时，则方程组的解可表示成 [公式] ，其中 [公式] 是 [公式] 的一个右逆矩阵。（单边逆的定义、判别和求法，参见【1】P178-182）

首先讨论相容线性方程组的解法。

一. 三角分解法

思路： [公式] 被三角分解成[公式] 后，将[公式] 转化为[公式] ，算出 [公式] 。因为 [公式] 是上三角矩阵，容易求解出最后一行的 [公式] ；将[公式]代入倒数第二行，容易求解出 [公式] ；将[公式], [公式] 代入倒数第三行，容易求解出 [公式]，以此类推。

1.1 QR分解

1.1.1 形式一: 满秩方阵

(a) 对 [公式] 进行列分块，得列分块向量 [公式]

(b) 对列分块向量施密特正交化，得到正交向量 [公式] ，其中

[公式]

(c) 令系数[公式]

(d) 最后得到[公式]

1. 拓展：上述过程中[公式]，同时还可进行 [公式] [公式] 分解，在步骤(a)中行分块即可。 类似地，[公式]时可进行 [公式] 或 [公式] 分解。区别在于 [公式] 是正交矩阵，而 [公式] 是酉矩阵。下面开始仅讨论复矩阵的情形，相应的实矩阵情形很好类推。

1.1.2 形式二: 行满秩矩阵

[公式] ，其中 [公式] 为 [公式] 阶正线下三角复矩阵， [公式] 为 [公式] 阶酉矩阵，[公式] 为零矩阵。（【1】P92证明）

1.1.3 形式三: 列满秩矩阵

[公式] ，其中 [公式] 为 [公式] 阶酉矩阵，[公式] 为 [公式] 阶正线上三角复矩阵，[公式] 为零矩阵。（【1】P92证明）

1.1.4 形式四: 任意矩阵

[公式]，其中[公式] 为 [公式] 阶酉矩阵， [公式] 为 [公式] 阶酉矩阵，[公式] 为 [公式] 阶正线下三角复矩阵，[公式] 为零矩阵。还可以分解为[公式] ，[公式] 为 [公式] 阶正线下三角复矩阵。（【1】P94证明）

1.2 LU分解

1.2.1 形式一: 满秩方阵

[公式] ，[公式] 的各阶顺序主子式行列式不为零， [公式] 的主对角线上元素不为0。（【1】P89-92证明，4个命题等价）

1. 参数含义：[公式] 为上三角复矩阵， [公式] 为下三角复矩阵， [公式] 为单位上三角复矩阵， [公式] 为单位下三角复矩阵， [公式] 为对角矩阵。
2. 拓展：同样地， [公式] 的分解形式类推，相应的所得则为实矩阵。
3. 分解方法：
(1) 待定系数法
(a) 写出含待定系数的分解形式

[公式]
(b) 按照规则“ 先行后列”、“列除行不除”、“旧元素减去其所在行和列前(k-1)个元素的对应乘积然后求和”，对照上式一步步地写出待定系数

[公式]
(2) 高斯消元法
(a) 搭建框架
[公式]
(b) 提取高斯消元（即初等行变换）过程中的乘子和结果。(注意行列的对应，第 [公式] 行对第 [公式] 行做初等行变换的乘子，对应到结果矩阵的 [公式] 元素）

[公式]
4. 注意：
(a) 利用高斯消元法对矩阵 [公式] 进行 [公式] 矩阵分解时，绝对值小的主元可能产生麻烦，因此一般在进行前先判断是否对行进行调整。假设调整后的矩阵是 [公式] ,分解为 [公式] ，那么， [公式] 的分解又该表示为什么形式呢？我们用一个单位矩阵 [公式] 来表征这种变换，如果要交换矩阵 [公式] 中的一些行，那我们就对单位矩阵 [公式] 中相应的行进行交换，得到矩阵 [公式] 。因此有 [公式] 。
(b) 得到 [公式] 后，我们可以很容易地基于此，将 [公式] 拆成 [公式] 的形式从而得到 [公式] ；再将[公式] 合并为 [公式]从而得到[公式] ，过程如下：

[公式]
(c) 对于三对角矩阵，如果它的非零系数在主对角线上和两条次对角线上，那么可以对其进行 [公式] 分解，上述的两种分解方法都可以使用。

1.2.2 形式二: 行满秩矩阵

[公式] ，其中 [公式] 是 [公式] 阶正线下三角矩阵， [公式] ，表示以 [公式] 个两两正交的单位向量为行组成的矩阵的集合。（【1】P93证明，证明过程给出了分解步骤）

1.2.3 形式三: 列满秩矩阵

[公式] ，其中，[公式] 是 [公式] 阶正线上三角矩阵，[公式]，表示以 [公式] 个两两正交的单位向量为列组成的矩阵的集合。（【1】P93证明，证明过程给出了分解步骤）

1.3 Cholesky分解

[公式]， [公式] 是正定Hermite矩阵，[公式] 是正线上三角复矩阵。类似的， [公式] 则要求 [公式] 为实对称正定矩阵。

1. 拓展：对于 [公式] 同时还是正定Hermite矩阵的情况，它还可以分解为 [公式] ，这里的 [公式] 为单位上三角复矩阵， [公式] 为对角阵。
2. 分解方法（即待定系数法）：
[公式]

二. 迭代解法

2.1 迭代思想

从最简单的一元函数零点问题开始考虑，假设 [公式] 具有一个零点 [公式] 使得 [公式] 成立，通过变换我们可以得到等式 [公式] 。通常情况下，我们可以直接把 [公式] 变换为 [公式] 的形式，容易发现，仅当 [公式] 时该形式才成立，这时我们把通过 [公式] 求解[公式]的问题转换成了通过[公式]求解 [公式] 的问题，显然后者更容易求解。为什么呢？我们选择一个适当的初始值 [公式] 代入到等式右边，可以在等式左边得到 [公式] ，如果 [公式] ，我们继续将 [公式] 代入到等式右边，继续可以在等式左边得到 [公式] ，重复进行该操作，我们得到一系列的 [公式] 组成一个数列[公式] 。这就是格式为 [公式] 的迭代计算，如果该数列的极限 [公式] 存在且等于 [公式] ，则称该迭代格式收敛，[公式] 就是我们求解的零点，也叫不动点。这个例子是最简单的“不动点迭代法”，其实我们还可以自己构造出各式各样的迭代格式，然而不一定每种迭代格式都是可行的。那我们又该怎么判断一个迭代格式是否可行呢？

首先判断迭代格式的不动点的存在唯一性，然后再判断其收敛性，下面以“不动点迭代法”为例，可以证明以下定理：

(1-a) （存在唯一性）设 [公式] 且 [公式] 对一切 [公式] 成立，则 [公式] 在 [公式] 上一定有不动点。进一步设 [公式] 且存在常数 [公式] 使 [公式] 对一切 [公式] 成立，则 [公式] 在 [公式] 上的不动点是唯一的（【2】P25-26证明）。

(1-b) （全局收敛性）设 [公式] 且满足（1） [公式] 对一切 [公式] 成立；（2）存在常数 [公式] 使 [公式] 对一切 [公式] 成立，则对任意的 [公式] 产生的序列 [公式] 必收敛到 [公式] 的不动点（【2】P26证明）。

(1-c) （局部收敛性）设 [公式] 为 [公式] 的不动点， [公式] 在 [公式] 连续且 [公式] ，则存在 [公式] 的某邻域对任意 [公式] 属于该邻域，迭代格式 [公式] 产生的序列 [公式] 收敛到不动点 [公式] 。

当然，一个迭代格式就像极限那样，无穷逼近与不动点，因此我们要对其设置终止准则。同样以“不动点迭代法”为例，可以证明以下定理：

(1-d)（ 全局收敛性的误差估计）设 [公式] 且满足（1） [公式] 对一切 [公式] 成立；（2）存在常数 [公式] 使 [公式] 对一切 [公式] 成立，则对任意 [公式] 产生的序列满足下面两式： [公式] （【2】P26-27证明）。

“不动点迭代法”是在原式的基础上进行构造的，除此之外，我们还可以采用“牛顿迭代法”，它先在原式的基础上近似后再进行构造的，具体做法为：用 [公式] 的泰勒展开式 [公式] 中的线性函数 [公式] 近似代替函数 [公式] ，则将求解 [公式] 的问题转换为求解[公式] 的问题。由此很容易得到牛顿迭代格式为式[公式] 。（【3】P32-34证明，牛顿迭代法的存在唯一性、收敛性等）

最后，不同迭代格式之间如何进行优劣比较呢？考察各迭代格式的收敛速度即可。收敛速度的定义为：

设 [公式] （即序列 [公式] 收敛于 [公式] ），如果存在 [公式] 使得 [公式] ，则称数列 [公式] 为 [公式] 阶收敛。特别地：当 [公式]时，称为线性收敛； 当 [公式]时，称为超线性收敛； 当 [公式]时，称为平方收敛。序列的收敛阶数越高，则收敛速度越快。

判断一个迭代格式的收敛阶数可用以下定理：

设 [公式] 为方程 [公式] 的根。如果迭代函数 [公式] 满足条件：（1）[公式]在 [公式] 邻近是 [公式] 次连续可微的 [公式] ；（2） [公式] 而 [公式] ，则当初值 [公式] 取得充分靠近 [公式] 时，迭代格式 [公式] 是 [公式] 阶收敛的。

至此，迭代思想的核心大致总结为4个方面：“根的存在唯一性”、“收敛性”、“终止准则”和“收敛速度”。

1. 注意：(1) 需要构造迭代格式时，如果没指明需要构造的形式，往往我们可以首先考虑牛顿迭代法；(2) 牛顿迭代法至少二阶收敛的前提是没有重根，但如果遇到有重根的情况则需要更加仔细地代入公式进去算，因为在计算过程中，能够导致为0的元素可能分子分母消去，比如 [公式] ;(3) 牛顿迭代法擅长处理非线性方程，所以在对于实际问题构造时往往要往非线性方程构造，比如对于同一个问题构造为 [公式] 是无法使用牛顿迭代法的，应该构造为 [公式] 。


解决线性方程组的最终目标是找到未知变量的值。这是带有两个未知变量的线性方程组的示例：

等式1：

4x  + 3y = 20
-5x + 9y = 26

为了解决上述线性方程组，我们需要找到x和y变量的值。解决此类系统的方法有多种，例如消除变量，克莱默规则，矩阵解决方案。在本文中，我们将介绍矩阵解决方案。

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在矩阵解中，要求解的线性方程组以矩阵形式表示AX = B。例如，我们可以用矩阵形式表示等式1，如下所示：

A = [[ 4   3]
     [-5   9]]
 
X = [[x]
     [y]]
 
B = [[20]
     [26]]

要查找的值x和y变量方程1，我们需要找到在矩阵中的值X。为此，我们可以采用矩阵逆的点积A和矩阵B，如下所示：

X = inverse(A).B

用numpy求解线性方程组

要求解线性方程组，我们需要执行两个操作：矩阵求逆和矩阵点积。Python的Numpy库支持这两种操作。如果尚未安装Numpy库，则可以使用以下pip命令：

$ pip install numpy

现在让我们看看如何使用Numpy库解决线性方程组。

使用inv（）和dot（）方法

首先，我们将找到A在上一节中定义的矩阵逆。

首先让我们A在Python中创建矩阵。要创建矩阵，array可以使用Numpy模块的方法。矩阵可以视为列表列表，其中每个列表代表一行。

在以下脚本中，我们创建一个名为的列表m_list，其中进一步包含两个列表：[4,3]和[-5,9]。这些列表是矩阵中的两行A。要A使用Numpy 创建矩阵，将m_list传递给array方法，如下所示：

import numpy as np
 
m_list = [[4, 3], [-5, 9]]
A = np.array(m_list)

为了找到矩阵的逆，将矩阵传递给linalg.inv()Numpy模块：

inv_A = np.linalg.inv(A)
 
print(inv_A)

下一步是找出矩阵的逆矩阵之间的点积A和矩阵B。重要的是要提一下，只有在矩阵的维度相等的情况下，才可能在矩阵之间获得矩阵点积，即，左矩阵的列数必须与右矩阵的行数匹配。

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要使用Numpy库查找点积，使用linalg.dot()函数。

B = np.array([20, 26])
X = np.linalg.inv(A).dot(B)
 
print(X)

输出：

[2. 4.]

验证一下，如果在方程式中插入x并4替换未知数，您将看到结果为20。

现在，让我们解决由三个线性方程组成的系统，如下所示：

4x + 3y + 2z = 25
-2x + 2y + 3z = -10
3x -5y + 2z = -4

可以使用Numpy库按以下方式求解以上方程式：

公式2：

  print(X)

在上面的脚本中，linalg.inv()和linalg.dot()方法链接在一起。该变量X包含方程式2的解，并输出如下：

[ 5.  3. -2.]

未知数x，y和的值分别是5、3 z和-2。您可以将这些值代入公式2并验证其正确性。

使用solve（）方法

在前两个示例中，我们使用linalg.inv()和linalg.dot()方法来找到方程组的解。但是，Numpy库包含该linalg.solve()方法，该方法可用于直接找到线性方程组的解：

  print(X2)

输出：

[ 5.  3. -2.]

您可以看到输出与以前相同。

一个真实的例子

让我们看看如何使用线性方程组来解决实际问题。

假设有一个卖水果的人一天就卖出了20个芒果和10个橘子，总价为350元。第二天，他以500元的价格出售了17个芒果和22个橙子。如果这两天的水果价格都保持不变，那么一个芒果和一个橙子的价格是多少？

使用两个线性方程组可以轻松解决此问题。

假设一个芒果x的价格为，一个橙子的价格为y。上面的问题可以这样转换：

20x + 10y = 350
17x + 22y = 500

上面的方程组的解决方案如下所示：

 
X = np.linalg.solve(A,B)
 
print(X)

这是输出：

[10. 15.]

输出显示，一个芒果的价格为10元，一个橙子的价格为15元。

结论

本文介绍了如何使用Python的Numpy库解决线性方程组。您可以使用linalg.inv()和linalg.dot()方法来求解线性方程组，也可以简单地使用solve()方法。solve()方法是首选方法。

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关于作者

Kaizong Ye是拓端研究室（TRL）的研究员。

本文借鉴了作者最近为《R语言数据分析挖掘必知必会 》课堂做的准备。

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